可视化微分几何和形式:一部五幕数学正剧电子书

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献辞

译者序

中文版序

序幕

“几何”味的“微分几何”

致谢

第一幕 空间的本质

第 1 章 欧几里得几何与非欧几何

1.1 欧几里得几何与双曲几何

1.2 球面几何

1.3 球面三角形的角盈

1.4 曲面的内蕴几何与外在几何

1.5 通过“直性”来构作测地线

1.6 空间的本质

第 2 章 高斯曲率

2.1 引言

2.2 圆的周长和面积

2.3 局部高斯 - 博内定理

第 3 章 序幕和第一幕的习题

序幕：牛顿的最终相等（）

欧几里得几何与非欧几何

高斯曲率

第二幕 度量

第 4 章 曲面映射：度量

4.1 引言

4.2 球面的投影地图

4.3 一般曲面上的度量

4.4 度量曲率公式

4.5 共形地图

4.6 讲一点儿可视化的复分析

4.7 球面的共形球极地图

4.8 球极平面投影公式

4.9 球极平面投影的保圆性

第 5 章 伪球面和双曲平面

5.1 贝尔特拉米的洞察

5.2 曳物线和伪球面

5.3 伪球面的共形地图

5.4 贝尔特拉米 - 庞加莱半平面

5.5 利用光学来求测地线

5.6 平行角

5.7 贝尔特拉米 - 庞加莱圆盘

第 6 章 等距变换和复数

6.1 引言

6.2 默比乌斯变换

6.3 主要结果

6.4 爱因斯坦的时空几何学

6.5 三维双曲几何

第 7 章 第二幕的习题

曲面映射：度量

伪球面和双曲平面

等距变换和复数

第三幕 曲率

第 8 章 平面曲线的曲率

8.1 引言

8.2 曲率圆

8.3 牛顿的曲率公式

8.4 作为转向率的曲率

8.5 例子：牛顿的曳物线

第 9 章 三维空间中的曲线

第 10 章 曲面的主曲率

10.1 欧拉的曲率公式

10.2 欧拉的曲率公式的证明

10.3 旋转曲面

第 11 章 测地线和测地曲率

11.1 测地曲率和法曲率

11.2 默尼耶定理

11.3 测地线是“直的”

11.4 测地曲率的内蕴量度

11.5 量度测地曲率的一个简单的外在方法

11.6 用透明胶带构作测地线的一个新解释

11.7 旋转曲面上的测地线

11.7.1 球面上的克莱罗定理

11.7.2 开普勒第二定律

11.7.3 牛顿对开普勒第二定律的几何证明

11.7.4 克莱罗定理的动力学证明

11.7.5 应用：再看双曲平面上的测地线

第 12 章 曲面的外在曲率

12.1 引言

12.2 球面映射

12.3 曲面的外在曲率

12.4 哪些形状是可能的？

第 13 章 高斯的绝妙定理

13.1 引言

13.2 高斯的漂亮定理（1816 年）

13.3 高斯的绝妙定理（1827 年）

第 14 章 尖刺的曲率

14.1 引言

14.2 锥形尖刺的曲率

14.3 多面角的内蕴曲率与外在曲率

14.4 多面体的绝妙定理

第 15 章 形状导数

15.1 方向导数

15.2 形状导数 S

15.3 S 的几何效应

15.4 绕道线性代数：奇异值分解和转置运算的几何学

15.5 S 的一般矩阵

15.6 S 的几何解释和 [S ] 的化简

15.7 [S ] 由三个曲率完全确定

15.8 渐近方向

15.9 经典术语和记号：三种基本形式

第 16 章 全局高斯 - 博内定理，引论

16.1 一些拓扑学知识与结果的陈述

16.2 球面和环面的曲率

16.2.1 球面的全曲率

16.2.2 环面的全曲率

16.3 看一看厚煎饼的

16.4 看一看面包圈和桥的

16.5 拓扑度和球面映射

16.6 历史注释

第 17 章 全局高斯 - 博内定理的第一个证明（启发性证明）

17.1 平面环路的全曲率：霍普夫1 旋转定理

17.2 变形圆周的全曲率

17.3 霍普夫旋转定理的启发性证明

17.4 变形球面的全曲率

17.5 全局高斯 - 博内定理的启发性证明

第 18 章 全局高斯 - 博内定理的第二个证明（利用角盈）

18.1 欧拉示性数

18.2 欧拉的（经验的）多面体公式

18.3 柯西对欧拉多面体公式的证明

18.3.1 摊平了的多面体

18.3.2 多边形网的欧拉示性数

18.4 勒让德对欧拉多面体公式的证明

18.5 对曲面增加柄以提高其亏格

18.6 全局高斯 - 博内定理的角盈证明

第 19 章 全局高斯 - 博内定理的第三个证明（利用向量场）

19.1 引言

19.2 平面上的向量场

19.3 奇点的指数

19.4 原型奇点：复幂函数

19.5 曲面上的向量场

19.5.1 蜂蜜流向量场

19.5.2 蜂蜜流与地形图的关系

19.5.3 怎样在曲面上定义奇点指数？

19.6 庞加莱 - 霍普夫定理

19.6.1 例子：拓扑球面

19.6.2 庞加莱 - 霍普夫定理的证明

19.6.3 应用：欧拉 - 吕以利埃公式的证明

19.6.4 庞加莱的微分方程与霍普夫的线场的比较

19.7 全局高斯 - 博内定理的向量场证明

19.8 往前的路怎么走？

第 20 章 第三幕的习题

平面曲线的曲率

三维空间中的曲线

曲面的主曲率

高斯的绝妙定理

形状导数

全局高斯 - 博内定理引论

GGB 的第一个证明（启发性证明）

GGB 的第二个证明（利用角盈）

GGB 的第三个证明（利用向量场）

第四幕 平行移动

第 21 章 一个历史谜团

第 22 章 外在的构作

22.1 一边前进，一边向曲面投影

22.2 测地线和平行移动

22.3 马铃薯削皮器的移动

第 23 章 内蕴的构作

23.1 沿测地线的平行移动

23.2 内蕴（即“协变”）导数

第 24 章 和乐性

24.1 例子：球面

24.2 一般的测地线三角形的和乐性

24.3 和乐性是可加的

24.4 例子：双曲平面

第 25 章 绝妙定理的一个直观几何证明

25.1 引言

25.2 关于记号和定义的一些说明

25.3 至今所知的故事

25.4 球面映射保持平行移动不变

25.5 再说漂亮定理和绝妙定理

第 26 章 全局高斯 - 博内定理的第四个证明（利用和乐性）

26.1 引言

26.2 沿一条开曲线的和乐性？

26.3 霍普夫对全局高斯 - 博内定理的内蕴证明

第 27 章 度量曲率公式的几何证明

27.1 引言

27.2 向量场围绕回路的环流量

27.3 排练：平面上的和乐性

27.4 和乐性作为地图中由度量定义的向量场的环流量

27.5 度量曲率公式的几何证明

第 28 章 曲率是相邻测地线之间的作用力

28.1 雅可比方程简介

28.1.1 零曲率：平面

28.1.2 正曲率：球面

28.1.3 负曲率：伪球面

28.2 雅可比方程的两个证明

28.2.1 测地极坐标

28.2.2 相对加速度 速度的和乐性

28.3 小测地圆的周长和面积

第 29 章 黎曼曲率

29.1 引言和概要

29.2 流形上的角盈

29.3 平行移动：三种构作方法

29.3.1 定角锥上的最近向量

29.3.2 在平行移动平面内的定角

29.3.3 希尔德7的梯子

29.4 内蕴（又称“协变”）导数

29.5 黎曼曲率张量

29.5.1 绕一个小“平行四边形”的平行移动

29.5.2 用向量换位子把这个“平行四边形”封闭起来

29.5.3 黎曼曲率的一般公式

29.5.4 黎曼曲率是一个张量

29.5.5 黎曼张量的分量

29.5.6 对于固定的 ，向量的和乐性只依赖于回路所在的平面及其所围面积

29.5.7 黎曼张量的对称性

29.5.8 截面曲率

29.5.9 关于黎曼张量起源的历史注记

29.6 维流形的雅可比方程

29.6.1 截面雅可比方程的几何证明

29.6.2 截面雅可比方程的几何意义

29.6.3 雅可比方程和截面雅可比方程的计算证明

29.7 里奇张量

29.7.1 由一束测地线包围的面积的加速度

29.7.2 里奇张量的定义和几何意义

29.8 终曲

第 30 章 爱因斯坦的弯曲时空

30.1 引言：“我一生中最快乐的想法”

30.2 引力的潮汐力

30.3 牛顿引力定律的几何形式

30.4 时空的度量

30.5 时空的图示

30.6 爱因斯坦的真空场方程的几何形式

30.7 施瓦氏解和爱因斯坦理论的最初验证

30.8 引力波

30.9 爱因斯坦的（有物质的）场方程的几何形式

30.10 引力坍缩成为黑洞

30.11 宇宙学常数：“我一生中最严重的错误”

30.12 结束语

第 31 章 第四幕的习题

外在的构作

内蕴的构作

和乐性

曲率是相邻测地线之间的力

黎曼曲率

爱因斯坦的弯曲时空

第五幕 形式

第 32 章 1-形式

32.1 引言

32.2 1-形式的定义

32.3 1-形式的例子

32.3.1 引力做功的 1-形式

32.3.2 引力做功 1-形式的可视化

32.3.3 等高线图和梯度 1-形式

32.3.4 行向量

32.3.5 狄拉克符号（左矢）

32.4 基底 1-形式

32.5 1-形式的分量

32.6 梯度 是 1-形式

32.6.1 复习：梯度 是一个向量

32.6.2 梯度 是一个 1-形式

32.6.3 1-形式的笛卡儿基

32.6.4 的 1-形式解释

32.7 1-形式加法的几何解释

第 33 章 张量

33.1 张量的定义：阶

33.2 例子：线性代数

33.3 从原有的张量做出新张量

33.3.1 加法

33.3.2 乘法：张量积

33.4 分量

33.5 度量张量与经典线元的关系

33.6 例子：再看线性代数

33.7 缩并

33.8 用度量张量来改变张量的阶

33.9 对称张量和反对称张量

第 34 章 2-形式

34.1 2-形式和 -形式的定义

34.2 例子：面积 2-形式

34.3 两个 1-形式的楔积

34.4 极坐标下的面积 2-形式

34.5 基底 2-形式及投影

34.6 2-形式与 中向量的联系：流量

34.7 中向量积与楔积的关系

34.8 法拉第的电磁 2-形式与麦克斯韦的电磁 2-形式

第 35 章 3-形式

35.1 3-形式需要三个维度

35.2 一个 2-形式与一个 1-形式的楔积

35.3 体积 3-形式

35.4 球极坐标中的 3-形式

35.5 三个 1-形式的楔积， 个 1-形式的楔积

35.6 基底 3-形式

35.7 可能吗？

第 36 章 微分学

36.1 1-形式的外导数

36.2 2-形式和 -形式的外导数

36.3 形式的莱布尼茨法则

36.4 闭形式和恰当形式

36.4.1 基本结果：

36.4.2 闭形式和恰当形式

36.4.3 复分析：柯西 - 黎曼方程

36.5 用形式做向量运算

36.6 麦克斯韦方程组

第 37 章 积分学

37.1 1-形式的线积分

37.1.1 环流和功

37.1.2 与路径的无关性 闭合环路积分为零

37.1.3 恰当形式 的积分

37.2 外导数是一个积分

37.2.1 1-形式的外导数

37.2.2 2-形式的外导数

37.3 外微积分基本定理（广义斯托克斯定理）

37.3.1 外微积分基本定理

37.3.2 相伴的历史问题

37.3.3 例子：面积

37.4 边界的边界是零

37.5 向量微积分的经典积分定理

37.5.1 -形式

37.5.2 -形式

37.5.3 -形式

37.6 外微积分基本定理的证明

37.7 柯西定理

37.8 1-形式的庞加莱引理

37.9 德拉姆上同调初步

37.9.1 引言

37.9.2 一个特殊的二维涡旋向量场

37.9.3 涡旋 1-形式是闭的

37.9.4 涡旋 1-形式的几何意义

37.9.5 闭 1-形式的环流的拓扑稳定性

37.9.6 第一德拉姆上同调群

37.9.7 中的平方反比点源

37.9.8 第二德拉姆上同调群

37.9.9 环面的第一德拉姆上同调群

第 38 章 用形式来讲微分几何

38.1 引言：嘉当的活动标架法

38.2 联络 1-形式

38.2.1 关于符号的约定和两个定义

38.2.2 联络 1-形式

38.2.3 注意：以前习惯的记号

38.3 姿态矩阵

38.3.1 通过姿态矩阵来讲连络形式

38.3.2 例子：柱面标架场

38.4 嘉当的两个结构方程

38.4.1 用 的对偶 来表示 的对偶

38.4.2 嘉当第一结构方程

38.4.3 嘉当第二结构方程

38.4.4 例子：球面标架场

38.5 曲面的 6 个基本形式方程

38.5.1 使嘉当的活动标架适用于曲面：形状导数与外在曲率

38.5.2 例子：球面

38.5.3 基底分解的唯一性

38.5.4 曲面的 6 个基本形式方程

38.6 对称性方程和彼得松 - 梅纳第 - 科达齐方程的几何意义

38.7 高斯方程的几何形式

38.8 度量曲率公式和绝妙定理的证明

38.8.1 引理： 的唯一性

38.8.2 度量曲率公式的证明

38.9 一个新的公式

38.10 希尔伯特引理

38.11 利布曼的刚性球面定理

38.12 流形的曲率 2-形式

38.12.1 引言和概述

38.12.2 广义外导数

38.12.3 由曲率 2-形式导出黎曼张量

38.12.4 再论比安基恒等式

38.13 施瓦西黑洞的曲率

第 39 章 第五幕的习题

1-形式

张量

2-形式

3-形式

微分

积分

用形式表达的微分几何

人名索引

看完了